 
     
  


 
  
  
   
   
     
  
 
  
  
     
    
    
   
  
    
      
    
   
    
   
   
   
  
   
      
     
     
   
  
     
     

 
                 
 
   
󰃶
󰃶󰝻󰁒
  Markov chain      
󰁓
󰃶󰁜󰁓
󰃶󰁜󰁓
󰃶󰁜󰁓
󰃶
󰃶
󰁓
󰁓
󰃶󰁜󰁓
󰃶󰁜󰁓
󰃶
󰃶
        
󰃶󰁜󰁓
󰃶
    
         
             
         

󰁓
󰁒

 stochastic matrix            
  transition matrix    
󰄄󰞃󰃔

Remark.              


   


󰁒
       

󰁒
󰁒
󰄃
󰅋

󰃶󰁜󰁓
󰃶󰁜󰁓
󰃶
󰃶
󰁒
󰁒

󰃶
󰃶󰁜󰁓

󰄃
󰇯
󰄃
󰇯󰅕󰅌
             
    
  
    

      
󰁒
󰃶


󰁒
󰁒
󰃶
󰃶
󰄃
󰅋

󰁒
󰁓

󰁓
󰁔

󰃶󰁝󰁓
󰃶
Proof.      
󰁒
󰁒
󰃶
󰃶
󰃶
󰃶
󰃶󰁝󰁓
󰃶󰁝󰁓
󰁒
󰁒
󰃶󰁝󰁓
󰃶󰁝󰁓
󰁒
󰁒

󰃶󰁝󰁓
󰃶

󰃶󰁝󰁓
󰃶󰁝󰁓
󰁒
󰁒

󰃶󰁝󰁓
󰃶

󰁒
󰁓

󰄃
󰅋
  
󰁒
󰁒
󰄃
󰅋
       
󰃶
󰃶
󰁒
󰁒
󰃶󰁝󰁓
󰃶󰁝󰁓
󰄃
󰅋

󰁒
󰁓

󰃶󰁝󰁓
󰃶
󰄃
󰅋

󰁒
󰁓

󰃶󰁝󰁔
󰃶󰁝󰁓

󰃶󰁝󰁓
󰃶
       
  
  
󰃯
    
󰃯󰃱
󰀫
        
   
     
󰃶
     
󰁓
󰃶


󰁓
󰁓
󰃶
󰃶
󰁓
󰁓
󰃶
󰃶
 
󰃶
    
󰁓
󰁔
󰃶
  
󰁓
󰃳
 
󰃯
󰅌
󰁓
󰃯
󰇬
󰃳
󰃶
󰃱󰁞󰁓
󰃯
󰇪
󰃱
 
󰃶
 
󰃶
           

󰁓
󰃳
󰁓
󰃵

󰁓
󰁓
󰃯
󰇬
󰃯
󰇬
󰃱
󰅌
󰃱
󰅌
󰃱
󰇮
󰁓
󰁓
󰃯
󰇬
󰃯
󰇬
󰃱
󰅌
󰃱
󰅌
󰃱
󰇮
   
   

   
󰃵
 
      
󰃵󰁜󰃶
󰃶󰝻󰁒
 
󰃯
    
󰁒
󰃵
          
Proof.   
󰃵
󰁒
󰃵󰁜󰃶
󰃶
󰃵
󰃯󰄃
󰅋

󰁒
󰁓

󰃶󰁝󰁓
󰃶

󰃵󰁜󰃶
󰃵󰁜󰃶
󰃵
󰃵
󰃵
󰃵󰁜󰃶
󰃵󰁜󰃶
󰃵
󰃵
󰃯󰄃
󰇮
󰃵
  
󰃵󰁜󰃶
󰃵
󰃵
󰄃
󰅋
󰅁󰝠󰅁󰄃
󰇮󰅖󰅌
󰞃󰃔
󰃵󰁜󰃶
󰃵󰁜󰃶
󰃵
󰃵
󰃵󰁝󰁓
󰃵󰁝󰁓
󰁒
󰁒
󰄃
󰅋
󰅁󰝠󰅁󰄃
󰇮󰅖󰅌
󰄃
󰅋

󰁒
󰁓

󰃵󰁝󰁓
󰃵

󰃵
󰃵󰁜󰁓

󰃵󰁜󰃶󰁝󰁓
󰃵󰁜󰃶

󰃵
󰃵󰁜󰁓

󰃵󰁜󰃶󰁝󰁓
󰃵󰁜󰃶
󰄃
󰅋
󰅁󰝠󰅁󰄃
󰇮󰅖󰅌
󰄃
󰅋

󰁒
󰁓

󰃵󰁝󰁓
󰃵

󰃵
󰃵󰁜󰁓

󰃵󰁜󰃶󰁝󰁓
󰃵󰁜󰃶

󰃵
󰃵
  
󰃵󰁜󰃶
󰃵󰁜󰃶
󰃵
󰃵
󰃵

󰃵
󰃵󰁜󰁓

󰃵󰁜󰃶󰁝󰁓
󰃵󰁜󰃶

󰃯󰄃
󰇮
 
󰃵󰁜󰃶
󰃶󰝻󰁒

󰃯
 
󰃵
     
           
󰁓
󰃳
 
 
󰃯
󰅌
󰃵󰁜󰁓
󰃯
󰇬
󰃵󰁜󰃳
󰁒
󰁒
󰃵
󰃵
󰃵
󰃯
󰅌
󰃵󰁜󰁓
󰃯
󰇬
󰃵󰁜󰃳
󰃵
󰁒
󰁒
󰃵
󰃵
󰃵
 
󰃵
 
󰃯
󰅌
󰃵󰁜󰁓
󰃯
󰇬
󰃵󰁜󰃳
󰁒
󰁒
󰃵
󰃵
󰃵
󰄃
󰅋

󰁒
󰁓

󰃵󰁝󰁓
󰃵

󰃯
󰅌
󰃵󰁜󰁓
󰃯
󰇬
󰃵󰁜󰃳
󰃵
󰃵
󰃵
󰁒
󰁒
󰃵
󰃵
󰃵
󰃵
󰃯
󰅌
󰃵󰁜󰁓
󰃯
󰇬
󰃵󰁜󰃳
󰃵
󰃵
     
     
 

        
  
        
          
   
󰃶
󰄃
󰅋
󰅁󰝠󰅁󰄃
󰇯󰅖󰅌
󰞃󰃔
󰃶
󰃶󰁝󰁓
󰃶󰁝󰁓
󰁒
󰁒
󰄃
󰅋
󰅁󰝠󰅁󰄃
󰇯󰅖󰅌
󰞃󰃔
󰄃
󰅋

󰁒
󰁓

󰃶󰁝󰁓

           

󰃶
󰄃
   
󰁒
         

󰃵󰁜󰃶
󰃵
󰃶
󰁒

󰄃
󰃶
󰄄
 
󰄃
󰁒
     
󰃯󰃱
  
 
󰃶
     

󰃶

󰃶
󰄃
󰃶󰁜󰃵
󰃵
󰄃
󰃶
󰄃󰄄

  
 

     
󰃶
     
󰃶󰁜󰁓
󰃶
 
  
󰁓󰁓

󰁓󰁓

󰁓󰁓

󰁓󰁔

 
󰁓󰁓

󰁓󰁔

󰃶
  
󰁓󰁓

󰁓󰁓

      
󰁓󰁓

󰄡
󰄡󰁜󰄢
󰄡
󰄡󰁜󰄢

󰃶
    
󰃶
        
󰁓
󰃳
        
 
󰃯
          
󰁝󰁓

       
󰃯

󰃶
󰃶
󰁝󰁓

󰃶
              
󰁓󰁓

󰁓
󰃶
󰁓
󰃳
󰃶
󰃳
󰃯
 
󰁒

󰁓󰁓
          
    
󰃳
      
󰃳
   
   
󰃳

󰃯󰄨
  
󰃳󰁝󰁓
󰃳

󰃯󰄨
 
  
󰁓󰁓

󰁓󰁓

󰁓
󰃶
󰁓
󰃳󰁝󰁓
󰃶


󰃳
󰃶



󰁓󰁓
            
  
󰃯
             

󰃶
   
󰃶
          
 
󰊝
󰊞
󰊞
󰊟
󰁓
󰁔
󰁓
󰁔
󰁓
󰁔
󰁓
󰁔
󰊠
󰊡
󰊡
󰊢
   
󰁓
󰁔

󰁓
󰁔
 
󰃯
󰁔
󰁓
󰁔

󰄰
󰁔

󰄰
󰁔
  
󰁓󰁓

󰃶


󰃶


  
󰁓󰁓
    
󰁓󰁓
     
󰁔
 
󰁓󰁓
          
󰁓󰁓

󰃶




 
  
            
   leads to  
󰄃

󰃶
  communicates with    
    

     
󰁒
󰁓
󰃳
 

󰁒
󰁓

󰁓
󰁔

󰃳󰁝󰁓
󰃳
    
󰄃󰄄

Proof.          
󰄃

󰃶
 
󰄃

󰃶
     
󰄃
󰃶
󰄃󰄄
  
    
󰄃
󰞏
󰃶󰁞󰁒
󰃶
    
󰄃󰄄
  
       
         
󰄃󰄄

󰄃
󰅌
󰅁󰝠󰅁󰄃
󰇯󰅖󰅌

󰁓

󰃶󰁝󰁓

         
      
Proof. 
󰄃󰄃
      
          
   communicating classes    closed 
     irreducible      
   
    absorbing     
  
     hitting time     
󰃌

  
󰃌

󰃶

      hitting probability  
󰃌
  
󰃌
󰃯
󰃯
󰃌
 mean hitting time  
󰃌
  
󰃌
󰃯
󰃯
󰃌
󰞏
󰃶󰁞󰁒

󰃯
󰃌

󰃯
󰃌
 
󰊝
󰊞
󰊞
󰊟
 
 
󰊠
󰊡
󰊡
󰊢

󰃌
󰁓
󰃌
󰁔
󰁔
󰃌
󰃌
󰁓
󰃌
󰁕
󰃌
󰁕
󰃌
󰁔

󰃌
󰁔
󰁓
󰁕
 

󰃍
󰁓
󰃍
󰁖
󰃍
󰁔
󰃍
󰁓
󰃍
󰁕
󰃍
󰁕
󰃍
󰁖
󰃍
󰁔

󰃍
󰁔
     
󰃌
󰃯
󰃯󰞃󰃌
      

󰃌
󰃯
󰃱

󰃌
󰃱
     
󰃯
󰃯󰞃󰃔
     
󰃌
󰃯
󰃯
Note.  
󰃌
󰃯
          

Proof.      
󰃯
󰃯󰞃󰃌
       
󰃌
󰃯
   
󰃌
        
 
󰃌
󰁒
󰞏
󰃶󰁞󰁓
󰁒

󰃶󰁝󰁓

󰃶
  
󰃯
󰃌
󰃯
󰁒
󰁞󰁒
󰞏
󰃶󰁞󰁓
󰃯
󰁒

󰃶󰁝󰁓

󰃶
󰞏
󰃶󰁞󰁓
󰃱
󰁒

󰃶󰁝󰁓

󰃶

󰁓
󰁒
󰃱
󰁓

󰁓
󰁒
󰞏
󰃶󰁞󰁔
󰃱
󰁓

󰃶󰁝󰁓

󰃶

󰁓
󰁒
󰃱

󰁓
󰁓
󰁒
󰃱

󰞏
󰃶󰁞󰁔
󰁓

󰃶󰁝󰁓

󰃶
󰁓
󰁒
            
󰁒
    

󰃱

󰁒
󰁒
󰃱

󰞏
󰃶󰁞󰁔
󰁓

󰃶󰁝󰁓

󰃶
󰁓
󰃱

󰁒
󰁒
󰃱

󰞏
󰃶󰁞󰁔
󰃱
󰁒

󰃶󰁝󰁔

󰃶󰁝󰁓
󰃱

󰃱
󰁒
󰞏
󰁔
󰃱
󰁒

󰃶󰁝󰁓

󰃶

󰃱

󰃱
󰃌
󰞏
󰃶󰁞󰁓
󰃱
󰃌

󰃱

󰃱
󰃌
󰃱

󰃌
󰃱
      
󰃯
       
󰃌
󰃯
󰃯

󰃯
󰃱

󰃱
󰃱󰞃󰃌

󰃱󰃌

󰃱
 
󰃯
󰃱󰞃󰃌

󰃱
󰃱󰃌

󰃳󰞃󰃌


󰃳

󰃯
󰃱
󰅌
󰞃󰃌

󰁓
󰃱
󰅌
󰃌
󰃱
󰅍
󰞃󰃌

󰁓

󰁓
󰁔
󰃱
󰅌
󰃌󰅁󰝠󰅁󰃱
󰇯󰅖󰅌
󰃌󰅁󰃱
󰇯
󰞃󰃌

󰁓

󰃶󰁝󰁓
󰃶
󰃱
󰅌
󰃌󰝠󰅁󰃱
󰇯
󰃌

󰁓

󰃶󰁝󰁓
󰃶

󰃱
󰇯
        
󰃯
󰃯
󰃌
󰃯
󰃌
󰃯
󰃌
󰃯
󰃌

 
󰃌
            
       
󰃌
󰃌
󰃯

      
󰊝
󰊞
󰊞
󰊟
 
 
󰊠
󰊡
󰊡
󰊢


󰃌
󰁓
              
  
󰁔
󰁓
󰁕
󰁕
󰁖
󰁔
󰁖

󰁔
󰁓
󰁕
󰁓
     
󰁓
  
 

󰃯
󰃯
󰁒

󰁒
   
󰃯

󰃯󰁜󰁓

󰃯󰁝󰁓

󰃯󰁜󰁓
󰃯

󰃯
󰃯󰁝󰁓

󰃯
󰃯
󰃯󰁝󰁓

󰃯
󰃯
󰁓

󰃯
󰃯
󰃱󰁞󰁓

󰃱
󰃱󰁝󰁓

󰁓
󰃯
󰃱󰁞󰁓
󰃱
    
󰃯
󰃯
   
󰃯
 
󰃯
   
󰃯
 
󰃯
󰃯

󰁓
󰁔

󰃯
󰃯󰁜󰁓
󰃯󰁝󰁓

󰃯
  
󰃯

    
    

󰃯

󰃯

󰃯
󰃯
 
󰃯
󰃯
󰁒
󰁒

󰃯
󰃯
󰃯󰁜󰁓
󰃯
󰃯󰁝󰁓
󰃯

󰃯󰁜󰁓
󰃯
󰃯

󰃯
󰃯󰁝󰁓

󰃯
󰃯
󰃯󰁝󰁓
 
󰃯󰁜󰁓
󰃯
󰃯
󰃯
󰃯
󰃯
󰃯
󰄣
󰇨
󰃯

󰃯

󰁓
󰁒
󰁓
󰃯󰁝󰁓
  
󰁒

󰃯
    
󰃯
󰁓
󰃯󰁝󰁓
󰃱󰁞󰁒
󰃱
󰞏
󰃱󰁞󰁒
󰃱
        
󰞏
󰃱󰁞󰁒
󰃱

󰁓
󰃯
 

󰞏
󰃱󰁞󰁒
󰃱

󰃯
󰞏
󰃱󰁞󰃯
󰃱
󰞏
󰃱󰁞󰁒
󰃱
   
 
󰃌
󰃯
󰃯
󰃌
󰃶

󰃯
󰃌

󰃯
󰃌
   
󰃌
󰃯
󰃯󰞃󰃔
         
󰃌
󰃯

󰃱󰃌

󰃌
󰃱

Proof.  
󰃯
      
󰃯
󰃌
            
󰃯
󰃌
 
    
󰃱
󰃌

󰃯
󰃌
󰃱

󰃌
󰃱
󰃯
󰃌
󰃱

󰃱
󰃌

  
󰃯
󰃌
󰃱

󰃱
󰃌

             
󰃱
󰃌

   
󰃌
󰃱
     
󰃶

󰃯
󰃌
󰃯
󰃌
󰃯
󰁒

󰃶󰁝󰁓

󰃶
        
󰃌
󰃯
󰃶

󰃯
󰃌
󰃱󰃌

󰃌
󰃱
       
󰃯
       
   
󰃯
󰃌
󰃯
   
󰃯
󰃱󰃌

󰃱
󰃱󰃌

󰃳󰃌

󰃳
 
󰃯
󰃱
󰅌
󰃌

󰁓
󰃱
󰅌
󰃌󰅁󰃱
󰅍
󰃌

󰁓

󰁓
󰁔
󰃱
󰅌
󰃌󰅁󰝠󰅁󰃱
󰇯
󰃌

󰁓

󰃶󰁝󰁓
󰃶
󰃱
󰅌
󰃌󰅁󰝠󰅁󰃱
󰇯󰅕󰅌
󰃌

󰃶
󰃶󰁜󰁓

󰃱
󰇯󰅕󰅌
            
󰃯
󰃱
󰅌
󰃌

󰁓
󰃱
󰅌
󰃌󰅁󰃱
󰅍
󰃌

󰁓

󰁓
󰁔
󰃱
󰅌
󰃌󰅁󰝠󰅁󰃱
󰇯
󰃌

󰁓

󰃶󰁝󰁓
󰃶

󰃯
󰃯
󰃌
󰃯
󰃌
󰃯
󰃌
󰃯
󰃌
󰃯
󰃌
󰃯
󰃌
󰃯
󰃌
󰃶
󰃳󰁞󰁒
󰃯
󰃌
        
󰃯
󰞏
󰃳󰁞󰁒
󰃯
󰃌
󰃯
󰃌
    
   
      
󰃵
󰃵󰁜󰃶

󰃯
    
󰁒
󰃵
         
               any 
               


  

  stopping time   
  
󰁒
󰃶
   
󰃌

󰃶
       

󰃌
󰁒

󰃶󰁝󰁓

󰃶
  
󰃌

󰃶
         
      
󰃶
         
  
     

    
  
󰃟
󰃶󰁜󰃟
󰃶󰝻󰁒

󰃯
     
󰁒
󰃟
Proof.      
󰁒
󰃶
      
󰃟
󰁒
󰃟󰁜󰃶
󰃶

󰁒
󰃟

󰃟
󰃯󰄃
󰅋

󰁒
󰁓

󰃶󰁝󰁓
󰃶


󰁒
󰃟

󰃟
      
󰁒
󰃳

󰃟
󰁒
󰃟󰁜󰃶
󰃶

󰁒
󰃟

󰃟
󰃳
󰁒
󰃳󰁜󰃶
󰃶

󰁒
󰃳

󰃳

󰃟
 
  
󰁒
󰃳
      
󰃳
󰁒
󰃳󰁜󰃶
󰃶

󰁒
󰃳

󰃳
󰃳
󰁒
󰃳󰁜󰃶
󰃶
󰃳
󰃯󰄃
󰅋

󰁒
󰁓

󰃶󰁝󰁓
󰃶

󰃟
󰁒
󰃟󰁜󰃶
󰃶

󰁒
󰃟

󰃟
󰃯󰄃
󰅋

󰁒
󰁓

󰃶󰁝󰁓
󰃶


󰁒
󰃳

󰃳

󰃟
󰃯󰄃
󰅋

󰁒
󰁓

󰃶󰁝󰁓
󰃶


󰁒
󰃟

󰃟
 
       
󰁓
󰁔
  
 
󰃯
󰃯
󰁒
  
󰁓
 
󰁓
󰁔

               
󰁔
󰁔
󰁒
                     
          
󰁒
󰁓
󰁒

󰁒
 

󰁓
    
󰁒

󰁓

󰁔
󰁔
󰁒

󰁓
󰁔
󰁒
󰁓
󰁔
󰁔
 
󰁔
󰁒
󰁓
󰁔
󰁓
󰁒
󰁓
󰁔
󰁒
󰁓
󰁓
󰁒

󰁔
󰁓
󰁓
󰁒

󰁔
󰁔
󰁓
󰁓
󰁒
  
󰁔
󰁔
󰁓
    
󰃶
󰃶
󰁓
  
 
         recurrent 
󰃯
󰃶
  
  transient 
󰃯
󰃶
  
        
   
 
󰁟󰁒󰁠
󰃯
  
󰁟󰃺󰁜󰁓󰁠
󰃯

󰁟󰃺󰁠
󰃯
󰃶

󰁟󰁓󰁠
󰃯
󰃯
           
󰃯
󰃯
󰃯

         
󰃯
󰞏
󰃶󰁞󰁒

󰃶
   
󰃯
󰃯
󰃺
󰃯
Proof.                 
    
󰃯
󰃯
󰃯
󰁟󰃺󰁜󰁓󰁠
󰃯
󰃯
󰁟󰃺󰁜󰁓󰁠
󰃯

󰁟󰃺󰁠
󰃯
󰃯
󰁟󰃺󰁜󰁓󰁠
󰃯
󰁟󰃺󰁠
󰃯
󰃯
󰁟󰃺󰁠
󰃯
󰃯
󰁟󰃺󰁜󰁓󰁠
󰃯
󰁟󰃺󰁠
󰃯
󰃯
󰃯
󰃯
󰁟󰃺󰁜󰁓󰁠
󰃯
󰁟󰃺󰁠
󰃯
󰃺
󰃯
         
󰁟󰃺󰁠
󰃯
󰃯
󰃯
󰃺
󰃯
󰃯
󰃺
󰃯
󰃺󰁜󰁓
󰃯
     
           
     
 
󰃯
󰃯
   
󰞏
󰃶󰁞󰁒
󰃯󰃯

 
󰃯
󰃯
   
󰞏
󰃶󰁞󰁒
󰃯󰃯


Proof.
󰃯
󰃯
󰃯
󰞏
󰃶󰁞󰁒

󰃶
󰞏
󰃶󰁞󰁒
󰃯

󰃶
󰞏
󰃶󰁞󰁒
󰃯
󰃶
󰞏
󰃶󰁞󰁒
󰃯󰃯

 
󰃯
󰃯
  
󰃯
󰃯

󰃯
󰃯
 
 
󰃯
󰃯

󰞏
󰃶󰁞󰁒
󰃯󰃯

 
󰃯
      
󰃯
󰃯
󰁓
󰁓󰁝󰃫
󰇨

󰃯
󰃯

  
󰃯
󰃯

󰞏
󰃶󰁞󰁒
󰃯󰃯

            
   
Proof.         
󰄃󰄄

󰄄󰄃


󰃶
󰄃󰄃
 
󰄄󰄄

󰃶
󰄄󰄄

󰃶
󰄄󰄃

󰄃󰄃

󰄃󰄄

󰄄󰄃

󰄃󰄄

󰄃󰄃

             
   
      
Proof.           


  
󰄃󰄄

  
 
   
             

󰄃
󰄃
󰄃
󰃵
󰄃󰄄

      

       
Proof.            
    
󰄃
󰃶
  
      
󰄄󰄃
 
󰄄
󰃵
  
󰄃
󰃵
󰃶
  
󰄃
󰃶
  
󰃵
󰄄
󰃵
󰄃
󰃶
  
󰄄
󰃵
         
         
󰄃
󰄄
Proof.   
󰄄
󰃶
  
  
󰄄󰄃
 
󰄄
󰃶
 
󰄅
󰄄
󰃵
󰃶
  
󰄅
󰄄
󰃶
  
󰃵
󰄄
󰃵
󰄅
󰄅
󰃶
  
󰄄
󰃵
    
󰄅
󰄅
󰄄
󰄄
󰃶
  
󰄄
󰃵

 
󰄅
󰄅
󰄄
󰄄
󰃵
󰄅
󰄅
󰄄
󰄄󰄅


󰄄󰄅

󰄅
󰄄󰄅

󰄃
󰄄
  
   

     
󰃩
     

󰃯

󰃯


󰃯
   
     
󰃩
      
  
     
󰁓
󰁔
  
󰃶
󰁒󰁒

    
󰁒󰁒

󰁒
󰃶
    
󰃶
  
󰁒
󰁔󰃳󰁜󰁓
               
               
󰁔󰃶
󰃶

                
󰁓
󰁔
󰁔󰃶

󰁒󰁒



󰁔󰃶


󰁔
󰁔󰃶
  

󰃶
󰁝󰃶

 


󰁔
󰁔󰃶

          
󰁒

󰁒
󰁒󰁒

󰃌
󰁔
󰃶

󰃶
󰁒󰁒

󰃶󰝻󰃶
󰅋
            
  
󰁒󰁒

󰁔󰃶
󰃶

󰃶
󰁟󰁖󰃸󰃹󰁠
󰇯
󰃶
     
  
󰃶󰝻󰃶
󰅋
󰁒󰁒

󰃶󰝻󰃶
󰅋

󰃶
      
  
        
󰁔
   
󰁔
   
         



󰃶
     
󰁔
  
󰃶

󰁜
󰃶
󰁝
󰃶
 
󰁜
󰃶

󰁝
󰃶
     
󰁓
󰁔
Proof.  
󰃶

󰃶
󰃶
󰃯󰁞󰁓
󰃯

󰃯
     
󰁓

󰁓

󰁓

󰁓

  
󰃯

󰁓
󰃯
󰁔
󰃯
   
󰁜
󰃶
󰃶
󰃯󰁞󰁓
󰁓
󰃯
󰁔
󰃯
󰁝
󰃶
󰃶
󰃯󰁞󰁓
󰁓
󰃯
󰁔
󰃯
   
󰁜
󰃶

󰁝
󰃶
    
󰁓
󰁔
      
        
󰁓
󰃯
󰁔
󰁓

󰁓
󰃯
󰁔
󰃯
   
󰁜
󰃶
󰁝
󰃶
           
      
󰁓
󰃯
󰁔
󰃯
   
 
󰁒󰁒
     
󰁒󰁒

󰁒
󰁔󰃶

󰃶
󰁜
󰃶
󰁝
󰃶
   
󰁒
󰁔󰃶
󰁒
󰁜
󰃶

󰁝
󰃶
󰁒
󰁜
󰃶
󰁒
󰁝
󰃶
󰁔

󰃶󰝻󰃶
󰅋
󰁒
󰁔󰃶
󰃶󰝻󰃶
󰅋
󰁔

    
  
 
󰁒󰁒
            
              
 
󰁔󰃶
󰃯󰅁󰃯󰅁󰃱󰅁󰃱󰅁󰃳󰅁󰃳
            

󰁓
󰁘
󰁔󰃶
  
󰁒󰁒

󰃯󰅁󰃱󰅁󰃳󰝻󰁒󰅁󰃯󰁜󰃱󰁜󰃳󰁞󰃶



󰁔󰃶


󰁔󰃶
󰃯󰅁󰃱󰅁󰃳󰝻󰁒󰅁󰃯󰁜󰃱󰁜󰃳󰁞󰃶

󰁔
󰁔󰃶

                   
              
󰃶
󰃯󰅁󰃱󰅁󰃳
󰃶
󰃵󰅁󰃵󰅁󰃵
󰁒󰁒



󰁔󰃶


󰃶
     
󰁒󰁒

󰁕󰝢󰁔
     
󰁒󰁒

󰁔
󰁒󰁒

󰁒󰁒

󰁖
󰁒󰁒


󰃶
󰁒󰁒

     
 
  
    
󰃯
   
󰃯

󰃯
󰃯
        
󰁓
󰁔
                 
󰁓󰁓

󰁓󰁔

󰁔󰁓

󰁔󰁔

󰁓
󰁔
     
󰁓
󰁔
󰁓
󰁔
   

         
󰁒
 
󰃶
  
󰁒

󰁓
󰃯󰞃󰃔
󰁒
󰁓
󰃯󰞃󰃔
󰁓
󰁒
󰁒
󰃯󰞃󰃔

  
󰁓
   
󰃯󰞃󰃔
     
  invariant  equilibrium  stationary    
   
     
󰁒
   
󰃶
Proof. 
󰁒

󰃶

󰃶

        
󰃯󰃱

󰃱
  
 
󰃱
   
Proof.       
󰃱
          

󰃱󰞃󰃔
󰃱
󰃱󰞃󰃔

󰃶󰝱󰞏
󰃯󰃱
 
󰃶󰝱󰞏
󰃱󰞃󰃔
󰃯󰃱
 
󰃶󰝱󰞏

󰃱
      
󰃱

󰃶󰝱󰞏
󰃯󰃱
 
󰃶󰝱󰞏
󰃳󰞃󰃔
󰃯󰃳

󰃳󰞃󰃔

󰃶󰝱󰞏
󰃯󰃳
