  
     
  

 
    
   
   
   
     
  
  
  
   
   
 
 
   
      
    
  
   
    
   
   
     
     
    
    
    
  
  
    
  
    
  
  
  
      
   
   
   
    
  
   
  
   
   
    
     
   
     
  
 
  
      
     
     
    
    
     
        
   
    
    
    
     
  
    
  
      
     
   
   
    
      
   
   
        
      
   
     
      
      
    
      
    
    
    
     
      
     
     
    
   
     
 
    
          
󰁔
  
           
              
             
       
               
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
              
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
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              
       
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        
     
        
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        
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    
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         
                
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Note.    
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          
           
   
    
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           
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   
               
               

     
          
      
        
           
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              
    
          
             
                
               
  
             



                
     
              
        
 
󰄰
󰁔
 
 
        
       

      
     
    
  
             
    
  


      
       
   
               
      
           
        
             
                
  
󰄰
󰁔
        
           
                
  
  
            
󰁓
󰁔
󰁕

           
󰃯
󰃱


 
󰁓
󰁔
󰁕
            
              
󰃯
󰃯
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                
           
󰁓
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
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          
󰁓
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 
             
   
                 
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           
󰁓
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                  
        
   
                
      
 
      
              
          
              
       
        
            
              
󰁔

 
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             
      
 
            
              
   
  
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   
          
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     
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     
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     

          

               
                 
   

             
 
             
          
         
                  
   
     
   
    
󰃯󰃱

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
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     
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    
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       
       
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
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             
        
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
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          
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           
 
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                
    
              
    
          
 
      
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                 
               
              

        
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                 
              
   
               

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       
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    
  
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                 
  
                
     
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
  
   
     
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              
              
     
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     
        
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     
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        
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               
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    
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                  
             
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   
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        
Proof.              
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         

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  
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    
       
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       
                  
             
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  
                    
  
               
   
󰃯󰃱
󰃯
󰃱
       
 
    
                
             
 
   



       
              
            
               
                

     
󰁓
󰁔
󰃺
       
󰁓
󰁓
󰁔
󰁔
󰃺
󰃺
                  
      
   
                 
              
              
    
       


      

󰁓
󰁒

      

󰁓
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󰁓
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󰁔
       
󰁓
󰃺
    

Proof. 
󰃯
󰃯
󰃯

󰓠
󰃱
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󰃯
󰓧
      
󰃱
       
󰃱
󰃱
󰃱
󰃱
󰃱
󰃱
󰃱
    
   
     
󰁓
󰃶
 
 
             
                
 
󰁓
󰃶

󰁓
󰃵
       
    
Proof.              
          
󰃦
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󰃦󰃯
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󰃦

             
   
󰃦
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󰃯󰃧
󰃧
󰃦
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󰃦󰃯
󰃯󰃧
󰃧
     
󰃦
   
󰃧
      
    
󰃧
        

󰃦󰃧
󰃯
󰃦󰃯
󰃯󰃧
    
󰃯
󰃯󰃱
󰃦
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󰃦
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󰃯󰃦
            
   
󰃯󰃦
󰃦󰃯
󰃯󰃦
󰃦
󰃦󰃦
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                
    
       
󰁓
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  
󰁓
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      
               
              

Proof.      
             
      
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        
        
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  
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
  
󰃵
         
             
       
          
󰃳󰁜󰁓
    
         
󰃳󰁜󰁓
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    
󰃳󰁜󰁓
         
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 
             
   
󰃳󰁜󰁓
  
      
󰃳󰁜󰁓
          

󰃳󰁜󰁓
         
           
             
               
              
       
              
               
      
󰃶


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󰃶
          
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
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󰃵󰃶
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󰃶
            
         
󰃶
     

   

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
              
              
󰃶
  
          
                 
         
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 
           
󰃶
 
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                
             
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
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 
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 
󰃱
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           
     
       

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     
󰃶
          
󰃱

󰃳
  
󰃱󰃳
            
󰁓
   
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
               
 
 
           
             

                
                
         
           
󰁓
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󰅄
       

󰅄
󰅄
 
       

    

         
Proof.                  
   
          
  
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 
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         
       
     


     


 
󰁕
󰁕
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                  
      
     
          
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    
  
Proof.       
󰁓
󰃳
    
󰃯
          
󰃯
   
        
󰃳󰁜󰁓

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     
              
                
    
󰃶
󰃯󰁞󰁓
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
         
󰃶
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               
 
            
              
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 
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      
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         
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         
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   
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              
             
󰁝󰁓
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󰁝󰁓
󰁝󰁓
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      
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          
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        
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      
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    
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       
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  
             
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󰝭
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         
󰝭
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󰃶
         
󰝭
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          
  
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

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󰃦󰃦
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    
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            
    
󰃳󰃯
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                  
       
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        
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 
     
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             
   
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      
󰃯󰃱󰞘󰃴
󰇯
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       
       
        
     
󰄲󰁟󰁓󰁠󰞘󰄲󰁟󰃶󰁠

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           
  
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 
     
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    
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      
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           
 
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 
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           
󰁓
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󰃶
        
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    
     
󰃸
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            
           

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󰃶
 


󰁓
󰁔
󰃶
   
󰁓
󰁔
󰃶
  
Proof.               
      
󰃸
      
󰁓
󰁔
󰃶
     
󰁓
󰁔
󰁕
         
    
󰃯
         
󰃯
󰃦󰃯
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󰁓
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        
󰁓
󰁔
󰃶
 
      
󰁓
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󰊞
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󰊡
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󰊞
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󰊡
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     
󰁕
         
  

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

 
    
󰃦
󰃦
   
 
       

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󰄲󰁟󰁓󰁠󰁓
󰄲󰁟󰁔󰁠󰁔
󰄲󰁟󰃶󰁠󰃶
   


󰄲
󰄲󰁟󰁓󰁠󰁓
󰄲󰁟󰁔󰁠󰁔
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󰁔󰁓
  
󰃯󰃱

󰊝
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󰃶󰃶
󰊠
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     
     
󰃶󰃯
󰃯󰃶
      
           
 
󰃦
       

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          
             
   
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      
󰄱󰁟󰁓󰁠󰁓
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
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         


     
    
󰃯󰃦
   
󰃯󰃦
   
         
        

󰃯

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 
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 
                  
 
󰊝
󰊞
󰊞
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
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󰊠
󰊡
󰊡
󰊢
         
 
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    
         
    
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  
󰃦
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   
           
󰃶
 
  
    
󰃯
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󰃱
    
    
      
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
󰃱
     
         



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    
   
 
            

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Proof.              
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               

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   
     
Proof.    

󰃯
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 
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 
   
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  
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 
      
    

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 
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    
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 
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
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
   
        
󰃦
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
󰃶󰁝󰃦
   

󰃶󰁝󰃯
   

󰃯󰁜󰃦
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
󰃯󰃦
               
  
󰃯󰃦
 

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
󰃯󰁜󰃦
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   

󰃦
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
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
   
   
󰃧
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
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      
󰃧
        
󰃯
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 
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
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 
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        
󰃯󰃦
     

󰃯󰃦
󰃯󰃧
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󰃦󰃧
 
󰃦󰃧

 
            
󰁝󰁓
󰁓
 󰃘
    
      
󰃯
   
󰃶
       
 
󰁝󰁓
     
󰁝󰁓
         
             
󰁒
  
󰁒
  
      
󰁒
 
󰁒
       
       
󰁒

           
󰃶
             
              

󰁓
󰃳
              
     
󰃳
󰃯󰁞󰁓
󰃯
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

              
 
   

     
󰁔
    
  
󰁝󰁓
      
󰁝󰁓



             
󰁝󰁓


     
      
 
 


          
󰁒
      
󰁒
           
        
   



 



          
󰁒

    
󰁒
             
         
       

󰁓
󰁔
󰁕
              
          
󰁓
󰁔
󰁕
              
    
             
      
          
         
         
󰁕
  
       
󰁓
󰁓
󰁔
󰁔
󰁕
󰁕
    
󰃯
          
            
    
         
             
               
         
              
         

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           
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
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  
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         
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󰝴󰃯󰄨
  

          

󰃶
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
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     
󰃯
   
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 
   
     
󰃌
 
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        
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       
    
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          
    
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        
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    
      
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      
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           
   
        
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  
󰄫
     
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               
   
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   
         
         
󰄫
󰄫
  
 
Proof.      

            
  
 
󰃯
     
󰄫
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󰇳
    
      
󰃯
󰄫
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󰄫
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      
    
              
    
 
 
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
󰁗
󰁗
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󰁝󰁕
󰁝󰁕
        

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󰁝󰁓
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
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 
 
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󰁝󰁔
󰁝󰁔
              
  
󰁝󰁓
 
󰁝󰁓

 
     
󰁝󰁓
      
 
     
  
  

󰃍
󰃌
Proof. 
 
󰁝󰁓



󰁝󰁓


 
󰁝󰁓

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󰁝󰁓
 



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
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󰁝󰁓
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
󰁝󰁓

󰁝󰁓
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

󰁝󰁓





     
         
󰝭

󰃯󰃱
󰃱󰃯
     
            
󰃶

󰝭
󰃯
󰃯
󰃯
 
󰃶
      
󰃶
       

󰝭
󰝭

      
    
        
󰝭

              
   
Proof.            
 
󰝭

󰝭
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
󰝭
󰝭

󰝭
       
󰝭

    
󰝭

󰝭
󰝭

󰝭
󰝭

󰝭

󰝭
    

  
󰃶
   
󰅄
󰅄
󰃶
          
󰅄
󰅄
 
󰅄
        
󰅄
   
        
              
     
󰄫
  
󰄫
   
   
󰄫
          
 
 
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 
󰁓
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     
󰁓

󰁔
       
           
      

󰁝󰁓

          
󰁝󰁓
󰝭
  
 
      
󰁝󰁓
󰁔

󰁝󰁓

󰁓
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           
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     
     
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             
󰁕
  
 
󰁓

󰁔
   

󰅄󰁔
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󰁓
󰅄󰁔
󰁔
          
󰁕
     
󰁓

󰁔

     
  
󰃶
    
󰄺󰃫
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󰇨
 
 

󰁕
    
󰃯󰃱
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󰃯
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󰃱
                 
               
  
󰁓
󰅄󰁔
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󰃶
󰅄󰁔
󰃶
  
󰃯
      
󰃯
    
                
   
󰁓
󰁔
 
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  
  
     

󰁒
󰁓
󰁔
󰁔
󰃳
󰃳
  

󰁒
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󰃳
             
   

󰁔
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              
           
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󰊞
󰊞
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󰊡
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
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󰃶
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
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󰇯
󰊠
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
󰁝󰁓
       
󰃺
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󰃺


󰁝󰁓

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
      
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

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󰃶
  
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󰃶
       
Remark.        

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 
󰁝󰁓
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󰃶󰁝󰁓
       
Proof for a matrix.    
󰃌

󰁔

     
󰃌

󰁔

       
Proof for diagonalisable matrices.   
󰃯
   
 
󰁝󰁓
   
󰃌

󰊝
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󰊡
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  
󰃌
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󰃌
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󰁝󰁓

     
Proof.    

󰃌

󰃺󰁞󰁒
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  
 
󰃶󰁝󰁓
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
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   
󰁒
󰁒
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󰃶󰁝󰁓
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󰃶󰁝󰁓
         
󰁒
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󰃶
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󰃶󰁝󰁔
󰃶󰁝󰁓
󰃶󰁝󰁓
󰃶
  
    
             
  
󰃯
 
󰃦
       
    
󰃯
󰃦
󰃦
󰃦󰃯
         
󰃯
    
󰃦
 
           
󰃦
󰃦󰃯
󰃯

󰃦
󰃦
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
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   
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           
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              
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        
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              
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       
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        
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   
Proof.
󰃌
   
   
󰁓
󰁔
 
󰄫
󰅌
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󰅍
  
󰁓
󰁔
  
󰅄
󰁝󰁓
      
    
󰄫
󰄫
   
    
󰄫
󰄫
         
            
          
             
              
   
󰁔
          
  

           
󰅄

Alternative Proof.            
󰃌

󰁔
            
󰁔
    
      
󰅄
        
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󰃌
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󰁔


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 
   

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     
              


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󰁝󰁓

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    
󰁝󰁓

󰅄
     
         
󰊝
󰊞
󰊞
󰊞
󰊟
󰊠
󰊡
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󰊡
󰊢

       
󰃶
     
󰃶
󰃶󰁝󰁓
󰁓
      
󰃶
       
      
󰊝
󰊞
󰊞
󰊞
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󰊠
󰊡
󰊡
󰊡
󰊢
  
󰃕

󰃶

󰄫

󰄫
          
   
          
󰅄
󰊝
󰊞
󰊞
󰊟
󰃶
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
󰁓
󰃶
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󰁔
󰃶
󰇳

󰃺
󰊠
󰊡
󰊡
󰊢
      
󰃶
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
󰃺
  
󰃺
󰃺
  

󰃺
󰁓
󰃺
   
󰅄
      
  
󰁓
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󰃺
       
    
󰅄
        
  
               
      
   
   
 
󰃶
        

     
󰃶
 

󰃯󰃱
󰃯
󰃱
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󰃯
             
       
󰃶
    
    
                   
     
󰁓
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󰁝󰁓
    

   
󰁓
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
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          
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󰁝󰁓
 
             
                
  
󰁕
       
      
      
                 
     
󰁝󰁓
        
     
   
 
󰁔
             
       
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 
󰅄
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            
󰁓
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            
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           
      
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          
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          
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              
   
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  
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
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
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
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      
   
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  
󰅄
   
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
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
  
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
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     
             
       
    
               
        
        
   

󰄃
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 

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     

󰄃
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  
           
            
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    
󰁔
     
    
󰁔
        
    
     
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  
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      
        
             
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
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               
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            
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󰁔
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  
󰁔
󰁔
     
    
󰁔
󰁓

 
󰁔

󰁔
      
 
󰁔

󰁔
     
 
󰁔

󰁔
     
    
    
       
  
           
󰃶
 
  
󰃶
         
              
               
 
     
󰃶
     
             
              
     
󰅄
󰃯
󰃯󰃱
󰃱
     
          
󰅄

󰅄
󰃯
 
          
 
󰅄
󰃯
            

󰃯
 
󰃯
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   
󰃯
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󰃱
󰃱
󰃱
󰃱󰃯

󰁝󰁓
      
   
    
󰁔
 


󰁒
󰁓
󰁒
󰁓

󰁒
󰁒
󰁓
󰁓
            
        
󰁔
󰁒
󰁔
󰁓
   
   
    

󰁒

󰁓
 
󰁒
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
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
󰁒
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
        
         
󰁔
󰁔
     

  
   
󰁒󰁒
󰁒󰁓
󰁓󰁒
󰁓󰁓
 
󰁔
󰁔
          
    


               
󰁒󰁒
󰁔
 
󰁒󰁒

󰁒󰁒
     
󰁒󰁒
 
   
             
󰁒

󰃯
 
     

󰁒
󰁒
󰁔
󰁒󰁒
󰁔
󰁓󰁒
󰁒
󰁒

󰁒󰁒
󰁔


󰁒󰁒
  
󰁒


       

󰁒
󰁓
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󰁓
󰁓

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
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            
 
 
             
              
              
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     
    

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󰅍

       
󰁒
       
󰁓
        
󰅄
󰅄

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