
     
  

 
    
     
  
  
  
     
 
   
   
    
   
     
    
   
     
   
      
      
   
  
   
   
   
   
   
   
   
   
  
     
     
      
     
      
     
     
      
     
   
  
  
       
     
    
   
   
   
    
   
       
    
        
   
  
   
     
  
  
    
     
    
  
     
     
     
      
   
  
     
    
    
    
    
     
  
    
  
   
   
      
   
    
    
    
    
   
     
   
   
      
      
      
    
    
   
        
   
     
   
    
      
    
      
    
      
       
   
   
   
     
    
    
    
  
   
    
     
   
     
     
     
   
 
    
            

  
󰃨
     
󰃶
󰃶󰝻󰁓

󰃶
      
󰃶
󰃶
         
  

        
󰃶
󰃶󰝻󰁓

󰃶
   
󰃶󰝻󰁓
󰃶
󰃶󰝻󰁓
󰃶
    
 
         
          
Remark.               
             
            events  
 outcomes              
               

     
󰃨
 
󰃨
     
     
 
   
          
   




󰁓
󰁘
  
󰃌
󰁘
           
󰁓
󰁔
󰃶
  
󰃌
󰂲
        
              
            without replacement
              
   
  
 
󰃶
󰃳
  

󰁓
󰂲
         
              
           

          
󰁖󰝶󰁕󰝶󰁗󰁒󰝡
󰁗󰁔󰝡
󰁓
󰁔󰁔󰁓
  
     
        
󰃶

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               
               


             
 
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         
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        
󰃨
   
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   
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 
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  
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   
  
       
             
  
     
     
󰁓
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          
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            
              
       
󰃶
󰃳
    
󰃶
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 
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              
    strictly   
           
              
            

󰃶󰁜󰃳󰁝󰁓
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 
󰃶
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󰃶
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󰃶
󰃶

󰃦
󰇯
󰃧
󰇯
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
   
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       
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  
   

 
     
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     
Proof.        
󰃧
󰃦
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󰃶
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󰃳
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  
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󰊡
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
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      
      
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      
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  
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         
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  
  
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  
      
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 
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  
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            
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 
    
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    
     
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   
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             
        
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       
     
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
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   
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  
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               
                 
  
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Proof.              
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   
            
            
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    
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   
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          
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    
   
          
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      
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     
  
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Remark.               
          
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  
󰃨
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 
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  
      
 
    
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      
   
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        
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  
      
    
  
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       
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  
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     
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     
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              
               
      
󰃶
   
󰃶
 
    
󰃶
  
     
               
               
                
         

                
     
󰃨
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
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
            
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    
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        
                
                   

     
   
          
         
           
               
         
             
             
        
       
  


󰁓
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
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                   
                

               

󰁓
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  
             
  
    
   
   
    
   
 
    
  
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                 
                 
              
               
               

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  
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    
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
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      
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       
             
 
  
            
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                
    
󰁓
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  
    
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    
           
        
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          
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               
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  
                
      
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     
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    
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

  
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         
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

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    
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      
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     
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       
             
          
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 
               
 
 
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󰁓
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           
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        
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      
 
           
            
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               
        
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    
  
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    
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  
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󰄫
     
           
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
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
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
󰁜
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󰁜

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      
       
󰁜
󰁝
   
󰁜
󰁝
                

     
     
 
   
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    
       
  
  

  



       
   
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
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   
󰁓
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         
     

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    
󰃶
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              
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      
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    
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    
    
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              
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  
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 
        
Proof.               
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
          
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Proof.  
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     
      
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  
      
󰁔
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Proof.              
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    
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         
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              
      
󰡹
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󰅍
    
    
󰁔
          
              
  
         
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              
     
          


           

󰁔
    
󰁔
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
󰁔
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  
              
   
             
        

Proof.            
  
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           

󰄃󰝸󰃵
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      

 
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Proof. 
        
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
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
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              
        
  
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         
  
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         
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    
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󰁓
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            
   
       
   
 
               
 

                 
       
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    
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󰃶
󰃶
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󰃶
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󰃶
Proof.    

󰃶

󰃶
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           
󰃶

         
󰃶
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         
           
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                  
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                 

   
    
󰃶
         
󰄃
 
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
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     
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 
   
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 
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
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     

 

     
󰄃
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   
    
           
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󰄃
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   
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        
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      
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         
     
󰄃
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   
 
          
󰃺
  
           
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󰞏
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          
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󰞏
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     
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             
  
󰅄
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    
       
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          
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          
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󰃣
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     
󰁓

󰃶

󰃣
󰇯
     
󰃶

󰃶󰁜󰁓

󰃶

󰃶

Proof.
󰃶󰁜󰁓

󰃣
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
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󰃶

   
       
󰃶
  
󰃶
󰃶
   
󰃶
 
󰃶󰁜󰁓
     
󰃶

󰃶

             
󰃶


󰃶
    
󰃶
        
󰃶


󰃶󰁜󰁓

󰃶
 

Proof.     
󰃶󰁜󰁓
󰃶󰁜󰁓
󰃶󰁜󰁓


󰃶


󰃶
         
󰃶
 
           
Proof.              

󰁓
             
            
󰃶󰁜󰁓
󰁟󰁓󰁠
󰃶
󰁟󰃵󰁠
󰃶
 
󰁟󰃱󰁠
󰃯
          
       
󰃶󰁜󰁓
󰃶󰁜󰁓
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󰃶󰁜󰁓
󰁓
󰁓
󰃵
󰁟󰁓󰁠
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
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󰃵
󰁟󰁓󰁠
󰃶
󰃵
󰁓
󰃵
󰃵
󰃶
󰁓

󰃶
          
  
󰁓
      
󰁓
Proof.               
   
󰃶
 
       

         
󰁒
󰁒
 
  
󰃶
 
󰃶󰁜󰁓

󰃶
       
󰃶
 
󰃶󰁜󰁓

󰃶

   
󰁓
    
󰃺
󰁓
  
       
󰁒
󰁓
   
          
󰁓
󰁓

   
󰁒
󰁓
󰁓
󰁓
     

󰁓
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󰅅

󰞏
󰃺󰁞󰁔

󰃺
󰃺󰁝󰁔

  
󰅄
           
               
  
󰅄
     
󰁓
󰁔
   
󰁔
     
󰅄
  
                 

󰁒
     
󰅄

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
󰄅󰝱󰁓
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
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           
󰅄
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󰅄
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
󰅄
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󰁝
󰅄
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󰅄
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󰁝
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  
󰁓
                
     
󰅄
 
󰅄

󰅄

󰅄
 
󰅄
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󰅅
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󰞏
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   
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  
󰅅
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󰅄
 
    
󰅄
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
󰁓
  
󰁓
   
   
           

     

    
   
  

            

󰁜

󰄄󰝱󰄃
󰅕
 
󰁝

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󰅖

   
󰁝
  
󰄃󰝱󰞏
 
󰄃󰝱󰁝󰞏


Proof.             
  



        
󰃶󰝱󰞏
󰁓
󰃶
  
󰃶
󰁓
󰃶
 
󰃶
       
󰃶
     
    
󰃶
 
󰃶
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󰃶
󰁓
󰃶
  
󰁓
󰃶
         
                
  
󰁝

󰃶󰝱󰞏
󰁓
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
󰃶
󰁓
󰃶
 
󰃶
  
         
󰃶
 


󰁝
          
    
              

     continuous      
           
 
       absolutely     
           
󰅄

            



󰁜󰞏
󰁝󰞏

 
󰄃
󰁝󰞏

 
󰃞

             


󰄃󰁜󰂞󰄃
󰄃

         

 
        
   
󰅄
      non-negative 
 
󰞏
󰁒

                
          

󰞏
󰁝󰞏

 
󰁜

󰁝
     
󰁜

󰁝
  

󰁜
󰁝
󰞏
󰁝󰞏

                  

   
  
󰞏
󰁒
Proof.      
󰞏
󰁒

󰞏
󰁒
󰄃
󰁒

󰄃
󰁒
󰞏
󰄄

󰞏
󰁒
󰄄
󰁝󰞏

󰞏
󰁒
    

Proof.     

󰞏
󰁒

   
󰞏
󰁒


              
󰞏
󰁒

󰞏
󰁒
 
       


󰁔
󰁔
󰁔
  
      

󰁓
󰃧󰁝󰃦


       
󰄃
󰃦

  

󰊩
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󰊫
󰄃󰁝󰃦
󰃧󰁝󰃦


󰃧
󰃦
  
      
󰁝󰄫󰄃
  
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󰄃
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󰞏
󰁒
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󰁝󰄫󰄃
           
  
󰃶

  
󰃶
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󰃳

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    
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
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             
              
         

           

   
   
 
Proof.    
󰁝󰄫󰃼
   
         


      
󰁝󰄫󰃼
    
 
󰃵
 
󰃵
 
󰃶

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󰃵󰝢󰃶
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󰃹
 
          
           
          
 
  
󰁝󰄫󰃼
 

󰁜
       
  
󰁝󰄫󰃻
󰁝󰄫󰃺
     

󰁝󰄫󰃼
   
     
           
          
󰁝󰁓

       
󰁝󰁓

󰄃
󰁝󰁓

Proof.      

󰁝󰁓

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󰁝󰁓



󰅄

󰁝󰁓

󰁝󰁓

󰁝󰁓

󰁝󰁓


       
󰁝󰁓
       
   

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

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󰅄
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
󰁝󰁓
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󰁝󰁓

      
  
       

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󰞏
󰁝󰞏
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󰞏
󰁝󰞏
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󰁔
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     
󰁔
󰁔
󰞏
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       
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󰁔
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
       
󰄃󰁝󰄬
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   
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  
 

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󰁝
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
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            
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        
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󰄨󰁟󰃣󰁜󰃤󰁠
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      
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            
    
 
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    
   
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              
    
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  
   
  
󰃶
         
  
󰃶
    
󰃶
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         
      
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     
  
󰃶
       
  
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 

Proof.   
󰃶
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   
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󰃶
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󰃶
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󰃶
  almost surely    
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󰃶󰝱󰞏
󰃶
          
󰃶
   
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󰃶
󰢄

Proof.      
󰃶
  
󰃶
󰃶
󰊝
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󰊞
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󰃵
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󰊡
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 
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      
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 
󰃶
󰃶

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󰃶󰝱󰞏
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󰃶
                
          

     
  
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 
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󰃶
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Proof. 
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󰃯
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       
󰁔
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󰃱
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   
                
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󰁖
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   
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             

      



    
󰁓
󰁔
          
 

  
              
               
             
                  
              
             
              
   
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󰃗
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                
           
󰃶
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󰃶
     
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
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           
󰁙
   
  

  
                
               
    
               
              
               
                
 
󰁔
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               
               
 
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  
    
            
 

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
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        
 
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󰃯
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
     
󰃯
       
󰃯
 
      
   
󰃶
     
󰃵
  
  
󰃵
 
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
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  
           
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   
      
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              
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   
               
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                
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      
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      
      
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   
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     
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 
                
          
Proof.      
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Proof.
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       
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      
   
          
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    
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   
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     
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    
            
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    
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              
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   
        
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  
     
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        
             

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